Question

定义在(-1,1)上的函数f(x)= -5x+sinx, 如果f(1-a)+f(1-a^2)>0,则实数a的取值范围是____

Answer 1

f(x)=-x^3-sinx,x(-1,1)
f(-x)=-(-x)^3-sin(-x)
=-f(x)
所以f(x)是奇函数
f'(x)=-3x^2-cosx
-1<x<1
0<x^2<1
-3<-3x^2<0
0<cosx<cos1
-3-cos1<-3x^2-cosx<0
所以f(x)在(-1,1)是减函数
f(1-a)+f(1-a^2)>0
f(1-a)>-f(1-a^2)=f(a^2-1)
1-a<a^2-1
a^2+a-2>0
(a+2)(a-1)>0
a<-2,a>1
又:
-1<1-a<1
-1<a^2-1<1

-2<-a<0
0<a<2

0<a^2<2
-根号2<a<0,0<a<根号2

综上,
1<a<根号2

Answer 2

a的取值范围是（1，根2）。
具体解法：
1、由f（x）的定义域可知，-1<(1-a)<1,-1<(1-a^2)<1，可以解得a首先应该在这个区间内：（0，根2）；
2、由f（1-a）+f（1-a^2)>0移向得f（1-a)>-f(1-a^2),又因为函数f（x）是奇函数，因此f（1-a）>f(a^2-1)，而求导可知函数f(x)是单调减函数，因此，1-a<a^2-1,即a^2+a-2>0,可得a应该在这个区间内：(1，正无穷）U(负无穷，-2）
综合1、2的结果可得最终结果a的取值范围是（1，根2）