Question

怎么证明所有分数化成小数的时候都不能化成无限不循环小数？怎么证明非无限不循环小数都能化成分数？

怎么证明所有分数化成小数的时候都不能化成无限不循环小数？怎么证明非无限不循环小数都能化成分数？还有怎么证明无限不循环小数不能化成分数

Answer 1

只要证明所有分数都能化成有限小数或无限循环小数,以及证明所有非无限不循环小数都能化成分数就行了.为了讨论方便,我只研究正数,而且分数和小数都小于1.
①设有分数p/q,其中p,q是互质的,则根据除法的定义,要么除到某一位为止恰好没有余数,则此时p/q是有限小数.要么不论除到第几位,总有余数.则因余数r<q恒成立,所以余数最多有q-1个(如q=30,则余数最多可能是29个,即1到29全部余了一遍).正因为r是有限个,而余数一直存在,所以最多除到第q次,某个余数r0一定会再次出现.既然再次出现,那么再除最多q次,r0又再次出现,因此将进入一个循环,即构成无限循环小数.
②有限小数一定能化成分数我就不说了.设有一个无限纯循环小数A,其循环节是a,循环节一共有b位.则根据十进制下的小数的定义,A=a/10^b+a/10^2b+a/10^3b+...这是一个等比级数,其首项为a/10^b,公比为1/10^b<1,根据等比级数的性质,A=(a/10^b)/(1-1/10^b).分子分母同时扩大10^b倍,得A=a/(10^b-1).因a和b都是正整数,所以A是分数
设有一混循环小数B,不循环的部分为c,一共d为.循环节为e,一共f位.根据十进制小数的定义,B=c/10^d+e/10^(f-d)+e/10^(2f-d)+...可以看到e/10^(f-d)+e/10^(2f-d)+...是一个等比级数且满足级数收敛条件,设其收敛于C(按照纯循环小数的证法,C是一个分数),而c/10^d也是分数.利用分数加法的定义可知B=c/10^d+C仍然是分数.所以无限循环小数一定能化成分数.

Answer 2

分数是由理数，当然不能化成无限不循环小数（无理数）