Question

如图，四面体A-BCD被以平面所截，截面EFGH是一个矩形 1.求证CD平行平面EFGH 2.求异面直线AB，CD所成的

角
3.若AB=a，CD=b，求截面EFGH面积的最大值

Answer 1

第一问：

用反证法：
假设CD不平行与EF
因为GH∥EF，GH属于平面BCD，EF属于平面ACD
如果CD不平行于EF，必不平行于GH，CD与GH和EF都有交点，且不是相同的点
这两个交点都属于CD，也都属于平面EFGH，即CD上有两个不同点都属于平面EFGH
所以CD在平面EFGH内，矛盾！
所以CD必平行于EF，也即是CD平行平面EFGH

第二问：
因为CD平行于EF，同理AB平行于EH
EF垂直于EH
所以AB与CD所成的角为90°

第三问：
因为平行，在三角形中符合比例关系！
EF：CD=AF：AC 即EF=AF*CD/AC
CF：AC=EG:AB 即EG=CF*AB/AC
截面EFGH的面积=EF*EG=a*b*CF*AF/AC^2
=a*b*CF*AF/(CF+AF)^2
=a*b*CF*AF/(CF^2+2CF*AF+AF^2)
<=a*b*CF*AF/(2CF*AF+2CF*AF)
=ab/4
所以截面EFGH的面积最大为ab/4