Question

已知a、b为常数，且a≠0, f(x)=ax^2+bx, f(2)=0,且方程f(x)=x有等根， （1） 求f(x) 的解析式

（2）是否存在实数m，n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为【m，n】和【2m，2n】

Answer 1

f(x)=ax^2+bx
因为f(2)=0
所以
4a+2b=0
因为方程f(x)=x有等根
f(x)=ax^2+bx
所以ax^2+bx=x,移项合并同类项得
ax^2+(b-1)x=0
即ax^2+(b-1)x=0有等根,
所以
b-1=0,b=1
从而4a+2=0,a=-1/2
f(x)的解析式为f(x)=-1/2x^2+x
（2）∵f(x)=(-1/2)(x-1)(x-1)+1/2小于等于1/2 ，
∴ 2n小于等于1/2，即 n小于等于1/4．又二次函数 y=(-1/2)(x-1)(x-1)+1/2的对称轴方程为x＝1，
∴当n小于等于1/4 时，f（x）在〔m，n〕上为增函数， 设m、n存在，则f(m)=2m和f(n)=2n 即 (-1/2)mm-m=0 推出m=0或m=-2(-1/2)nn-n=0 推出n=0或n=-2
∵ m<n小于等于1/4，
∴m=-2,n=0 即存在实数m＝－2，n＝0使f（x）的定义域为〔－2，0〕，值域为〔－4，0〕．