Question

高数积分题目

高数积分题目帮忙看看画线的一步怎么来的，谢谢了

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Answer 1

积分中值定理

追问

可以拿f(t)出来，而1/t还留在积分号里面?

追答

f(t)拿不出来，拿的是f(&)

追问

嗯
积分中值定理描述的不是整个被积函数拿出积分号(t变为不定量ξ)，这里怎么只是被积函数的一部分，而不是全部的f(t)/t

追答

这个是积分中值定理的推广

积分中值定理的几何意义是矩形面积等于曲边梯形面积。

追问

感谢，小姐姐😊

Answer 2

等价无穷小 lim (x-sinxcos2x)/cx^k=1 分子分母同为0 洛必达法则 =lim [1-(cosxcos2x-2sinxsin2x)]/ckx^(k-1) =lim -(-sinxcos2x-2cosxsin2x-2cosxsin2x-4sinxcos2x)/ck(k-1)x^(k-2) =lim (5sinxcos2x+4cosxsin2x)/ck(k-1)x^(k-2) =lim (5cosxcos2x-10sinxsin2x-4sinxsin2x+8cosxcos2x)/ck(k-1)(k-2)x^(k-3) 此时分子不为0，所以k-3=0 k=3 原式 =13/6c=1 c=6/13

追问

老哥，为什么要随便粘贴点东西来呢

Answer 3

应用的是推广的积分中值定理。其内容是，设f(x)、g(x)在x∈[a,b] 上连续、且g(x)在x∈[a,b]上不变号， 则在x∈(a,b)上至少存在一个点ξ ，使“∫(a,b)f(x)g(x)dx=f(ξ)∫(a,b)g(x)dx”成立。
本题中，设g(x)=1/x。显然，满足x∈[0,∞) 上连续、且不变号的条件，∴∫(0,∞)[f(ax)-f(bx)]dx/x=∫(0,∞)[f(ax)dx/x-∫(0,∞)f(bx)]dx/x=…=f(ξ)∫(aδ,bδ)dx/x，其中，aδ<ξ<bδ。
∴∫(0,∞)[f(ax)-f(bx)]dx/x=f(0)ln(b/a)。
供参考。

追问

还是谢谢啦

追答

不客气。