Question

设二阶连续可微函数f(x)满足f(1)=1,f'(1)=2,且使曲线积分y[xf'(x)+f(x)]dx-x^2f'(x)dy与路径无关

如题，求函数f(x)

Answer 1

令P(x,y)=y[xf'(x)+f(x)],Q(x,y)=-x²f'(x)

则∂P/∂y=xf'(x)+f(x),∂Q/∂x=-2xf'(x)-x²f''(x)
根据题意得xf'(x)+f(x)=-2xf'(x)-x²f''(x),整理得x²y''+3xy'+y=0
作换元u=lnx,那麼y'=dy/dx=dy/du*du/dx=1/x*dy/du
y''=dy'/dx=1/x²*[d²y/du²-dy/du]
上面这一步求导是利用商的求导法则,分母是x,分子是dy/du=g(u),於是[g(u)/x]'=[xg'(u)-g(u)]/x².而g(u)求导则是g'(u)*du/dx=d²y/du²*1/x,化简就是上面的结果
代入上面的方程,得d²y/du²+2dy/du+y=0
对应特征方程r²+2r+1=0的解为r1=r2=-1,於是y=(C1+C2u)*e^(-u)
而当x=1时u=0,代入上式得C1=1,C2=3
∴f(x)=(1+3lnx)/x