Question

含有绝对值的函数如何求导？详细！

含有绝对值的函数如何求导？详细！

Answer 1

思路：在该点处，分别求其左右导数，若左导数=右导数，即是该点导数；若至少有一个不存在,则该点导数不存在。

导数不存在有几种情况

1、函数在该点不连续，且该点是函数的第二类间断点。如y=tan(x)，在x=π/2处不可导。

2、函数在该点连续，但在该点的左右导数不相等。如Y=|X|，在x=0处连续，在x处的左导数为-1，右导数为1，不相等(可导函数必须光滑)，函数在x=0不可导。

导数和极限的关系

1、极限只是一个数：x趋向于x0的极限=f(x0)。而导数则是瞬时变化率，是函数在该点x0的斜率。导数比极限多了一个表达“过程”的部分。

2、一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”。

3、导数在一个点处的极限或者函数在一个点的空心邻域内是否可导，与导数在一个点处的函数值或者函数在一个点处的导数不同，导数在一个点有函数值，则函数可导。

Answer 2

先去掉绝对值号，表示成分段函数后求导，分界点处利用导数的定义求导。

求导是数学计算中的一个计算方法，它的定义就是，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。 

在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。 可导的函数一定连续。 不连续的函数一定不可导。

求导注意：

理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。

Answer 3

1. 在该点x0处，分别求其左右导数，若左导数=右导数，即是该点导数；若至少有一个不存在，则该点导数不存在。有些可以简化： f(x)= x² | x-1|,
f ' (0) =Limit [ x² | x-1| / x , x->0 ] = 0
2. 在其他点， 去掉绝对值符号，直接用公式求导。上例中，
当 x ∈(-∞，1），f(x) = - x² |(x-1) = -x³ + x ² = -3x² + 2x
当 x ∈(1, +∞），f(x) = x² |(x-1) = x³ - x ² = 3x² - 2x

Answer 4

先去掉绝对值号，表示成分段函数后，求导；分界点处利用导数的定义求导，切记！

Answer 5

首先：在|X|=0处不可导，
其次：其余去掉绝对值求导

注：不好求导时一般用定义求。