Question

一元二次方程韦达定理怎么证明》？

Answer 1

a(x-x1)(x-x2)=ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2
又a(x-x1)(x-x2)=ax^2+bx+c
故ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=x^2+bx+c
经x^2的系数要相等(a=a)，x的系数要相等(-a(x1+x2)=b)，常数项系数要相等(ax1x2=c)
整理即得：
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a

Answer 2

利用求根公式进行计算推导。
设简化二次方程为：x^2+px+q=0
则：x1=[-p+√(p²-4q)]/2 x2=[-p-√(p²-4q)]/2
∴x1+x2=-p/2+√(p²-4q)/2+[-p/2-√(p²-4q)/2]
=-p
x1*x2=(-p/2)²-(p²-4q)/4
=p²/4-p²/4+4q/4
=q
用文字来表述就是：简化二次方程两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。

追问

韦达定理就是在不知道根的情况下用的，这样把根求出来了，不就是循环论证了么？我要的是不用求根公式的推导！！

Answer 3

假设，一元二次方程为：ax²+bx+c=0(a≠0) ③，它的两个根分别为：x1,x2
则，该一元二次方程又可以写成：(x-x1)(x-x2)=0 ①
则，将①式展开：x²-(x1+x2)x+x1x2=0 ②
由于②式是原方程式是同一个一元二次方程式，
将③式写成：x²+(b/a)x+c/a=0 ④
由于②=③
所以：x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
韦达定理得证

Answer 4

对于一般式ax^2+bx+c=0(a不等于0)的两根x1,x2来说总满足原方程，故x-x1和x-x2都是原方程左边三项式的因式，故原方程一定能改写为a(x-x1)(x-x2)=0将此式展开对比系数即可。

追问

看不懂啊~

追答

那一元二次方程总会解吧！有个因式分解法：如解x^2-3x+2=0可以分解为(x-1)(x-2)=0,故1和2是根。同理，1和2 是根的方程总可以写为a(x-1)(x-2)=0 应该懂了吧……

追问

那不就是等于把根求出来了么？韦达定理就是在不知道根的情况下用的，所以不能把根求出来的啊。