Question

在三角形ABC中，D为AB的中点，分别延长CA,CB到点E,F，使得DE=DF,过E,F分别作CA,CB的垂线，相交于点P

求证：角PAE=角PBF

Answer 1

取AP、BP的中点，并连接EM、DM、FN、DN，根据直角三角形斜边中线性质易证得△DEM≌△FDN，即可得各角的关系．即可证得结论．
证明：取AP、BP的中点，并连接EM、DM、FN、DN，
据三角形中位线定理可得：
DM∥且=BN，DN∥且=AM，
∴∠AMD=∠BND，
∵M、N分别为直角三角形AEP、BFP斜边的中点，
∴EM=AM=DN，FN=BN=DM，
已知DE=DF，
∴△DEM≌△FDN（SSS），
∴∠EMD=∠FND，
∴∠AME=∠BNF，
∴△AME、△BNF为等腰三角

Answer 2

取 PA 中点M , 取PB中点N

因为M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点，
所以，EM＝AM，FN＝BN

因为 DM 和 DN 是△PAB中位线
所以 DM‖BN，DM＝BN，DN‖AM，DN＝AM
以及 DM=BN=NP=NF, DN=AM=MP=ME
以及 ∠AMD＝∠BND = ∠APB

又因为 DE＝DF，所以 △DEM≌△FDN
对应角相等 , 则
∠EMD＝∠FND
则∠AME＝∠BNF
而△AME、△BNF均为等腰三角形
所以，∠PAE＝∠PBF

Answer 3

取AP、BP的中点，并连接EM、DM、FN、DN，根据直角三角形斜边中线性质易证得△DEM≌△FDN，即可得各角的关系．即可证得结论．

证明：取AP、BP的中点，并连接EM、DM、FN、DN，
据三角形中位线定理可得：
DM∥且=BN，DN∥且=AM，
∴∠AMD=∠BND，
∵M、N分别为直角三角形AEP、BFP斜边的中点，
∴EM=AM=DN，FN=BN=DM，
已知DE=DF，
∴△DEM≌△FDN（SSS），
∴∠EMD=∠FND，
∴∠AME=∠BNF，
∴△AME、△BNF为等腰三角形，
∴∠PAE=∠PBF．