Question

三棱锥A-BCD的棱长都相等，E，F分别是棱AB，CD的中点

三棱锥A-BCD的棱长都相等，E，F分别是棱AB，CD的中点，，设α为EF与AC 所成的角，β为EF与BD所成的角，则α+β等于

Answer 1

解：作BC中点G、连结EG、FG、AF、BF，

∵E、F、G分别是AB、CD、BC中点，∴EG∥AC，同理，FG∥DB，

∴EF与AC夹角=∠GEF=α，EF与BD夹角=∠GFE=β，

又EG=1/2AC=1/2，GF=1/2BD=1/2，

设三棱锥棱长为1，则AE=1/2，AF=BF=√3/2，EF⊥AB，

Rt△AEF中，EF=√(AF^2-AE^2)=√((√3/2)^2-(1/2)^2)=√2/2，

△GEF中，GE^2+GF^2=(1/2)^2+(1/2)^2=1/2，EF^2=(2/2)^2=1/2，

∴GE^2+GF^2=EF^2，∴∠EGF=Rt∠，∴α+β=90°，解毕。