Question

求一道微分中值定理的证明方法

就是这道

Answer 1

构造F(x)=f(x+(b-a)/2)-f(x)
在区间[a,(a+b)/2]上用两次Lagrange 中值定理得
F((a+b)/2)-F(a)=F'(ε)((a+b)/2-a)
=[f'(ε+(b-a)/2)-f'(ε)][(b-a)/2]
=f''(ε)[(b-a)^2/4] 其中ε属于[a,(a+b)/2]
而F((a+b)/2)-F(a)=f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a)所以得证。