Question

关于微分中值定理的证明题~~~~

Answer 1

第一题：
设f(x)原函数为F(x)，则f(x)在[a,b]上的积分=F(b)-F(a)=0
现在只要在(a,b)上找一点x0,使得F(x0)=F(a)即可，这样由XX（貌似是罗尔？）定理，在[a,x0]、[x0,b]上就分别有一点使F(x)导数为零，即f(x)=0
在[a,b]上，xf(x)dx的积分=xdF(x)的积分=xF(x) - [ F(x)dx的积分 ] = (b-a)*F(a) - [F(x)dx的积分] = 0
由XX中值定理（貌似柯西？），存在一个x0属于(a,b),使得F(x)dx的积分等于(b-a)*F(x0)
代入上式可知F(x0)=F(a) 就是所求的分割点

第二题
将结论改为f(c)+cf'(c)=0,注意到等号左边是[xf(x)]'形式，即求一点c使得这个点上xf(x)导数为零，由XX定理，等价于在(0,1)上找互异两点x1,x2使x1f(x1) = x2f(x2)
类似上题，剩下的你自己想想吧。我要吃饭去了...回来再改
这类题找合适的原函数的技巧需要总结。