Question

如图、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1、点p在面对角线A1B上、点Q在面对角线B1C上、

（1）当点p是对角线A1B的中点、点Q在对角线B1C上运动、探究PQ最小值
（2）当点Q是对角线B1C的中点、点P在对角线A1B上运动、探究PQ最小值
(3)当点p是对角线A1B上运动、点Q在对角线B1C上运动、探究PQ最小值

Answer 1

（1）

PQ最小值为P点到直线B1C的距离

过P做PE∥A1B1  

连接E与B1C1的中点交B1C于Q点

∵PE∥A1B1   ∴PE⊥B1C

又易得B1C⊥EQ  （正方形B1C1CB中B1C为对角线EQ为另一对角线的中线）

∴B1C⊥面PEQ

∴B1C⊥PQ  PQ即为所求

PQ=√（PE²+EQ²）=√（（1/2）²+（√（（1/2）²+（1/2）²）） /2）²=√6 /4

（2）与（1）相同

（3）

PQ最小值为两条直线A1B和B1C间最小距离

做面A1BD和面CB1D1

易证面A1BD∥面CB1D1（对角线平行）

∴两条直线A1B和B1C间最小距离即为两平面的距离

易证AC1⊥面A1BD     AC1⊥面CB1D1A   AC1与两平面分别交于P1、Q1

（例如BD⊥AC1  BD⊥CC1 可知 BD⊥AC1 同理   A1B⊥AC1   ∴AC1⊥面A1BD）

又△A1C1P1中  FQ1为中线  ∴P1Q1=C1Q1   （F为B1D1与A1C1交点）

同理P1Q1=AP1

所以P1Q1=AC1/3=√3 /3