Question

椭圆与直线问题20分

已知椭圆x²/2+y²=1的两焦点为F1,F2，点P（x0，y0）满足0＜x0²/2+y0²＜1，则PF1+PF2的取值范围是 ，直线x0x/2 +y0y=1与椭圆的交点个数是 。

Answer 1

由题意，P点在椭圆内部
椭圆上的点有PF1+PF2=2a
所以PF1+PF2<2a=2√2
再根据两边之和大于第三边
PF1+PF2≥F1F2=2c=2
取值范围是[2，2√2)
x0x/2 +y0y=1与椭圆的交点个数是0
可以将这个直线方程带入椭圆方程有
然后得到Δ<0恒成立的
化简很繁琐，不过这一类题有规律的
这里给的P点在椭圆内部，
x0x/2 +y0y=1直线表示过以P为中点弦的两端所引两切线交点，且平行于该弦的直线方程.
程
显然两端引的切线肯定交与椭圆外一点，这条直线和椭圆是没交点的.

引申一下 如果P点在椭圆上那么直线就表示椭圆在该点的切线
如果P在椭圆外部，那么直线表示由P向椭圆引的两条切线，切点弦所在的直线方程

Answer 2

1.
解：点P（x0，y0）满足0＜x0²/2+y0²＜1说明点P在椭圆内部。
在椭圆x²/2+y²=1的点到F1,F2的距离和为2a=2√2
另外点P如果在直线F1F2上时，|PF1|+|PF2|=2为最小
所以取值范围为[2,2√2）

2.
判断椭圆与直线有几个公共点，只需判断判别式的符号。
x^2/2+y^2=1与x*x0/2+y*y0=1联立得
(x0^2+2y0^2)x^2-4x0*x+4-4y0^2=0
判别式△=(-4x0)^2-4(x0^2+2y0^2)*(4-4y0^2)
=-32y0^2+16x0^2y0^2+32y0^4
=16y0^2(x0^2+2y0^2-2)
因为0＜x0*2/2+y0*2＜1,x0^2+2y0^2<2
x0^2+2y0^2-2<0,

若y0≠0,△<0,
直线x0*2/2+y0y=1与椭圆C无公共点

若y0=0,则直线变为x*x0=2,
0＜x0^2/2+y0^2＜1变为0＜x0^2/2＜1
-√2<x0<√2,x=2/x0,所以x>√2,或x<-√2,
直线与椭圆无交点，此时直线与椭圆也无公共点。

Answer 3

bu zhi doa