Question

高中数学题，奇函数，急急急急急急！

定义在[-1,1]上奇函数f（x）已知当X属于[-1,0],f（x）=1/4^x-a/2^x写出f（x）在[0,1]上的解析式
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值 （3）若f（x）在[0,1]上递增求a的取值范围

Answer 1

(1)设x∈[0,1], 则-x∈[-1,0], f(-x)=1/4^-x - a/2^-x = 4^x - a 2^x ∴f(x)=a 2^x-4^x, x∈[0,1],
(2)∵f(x)=a 2^x - 4^x x∈[0,1], 令t=2^x , t∈[1,2], ∴g(t)=at-t^2= -(t-a/2)^2+a^2/4
当a/2<=1, 即 a<=2时， g(1）为最大 =a-1
当1<a/2<2. g(a/2)为最大 =a^2/4
当a/2>=2 g(2) 为最大 = 2a-4
(3) 因为函数在[0,1]上是增函数，所以 f'(x)=a ln2 2^x - ln4 4^x= 2^x ln2 (a-2 ×2^x)>=0 恒成立
∴a-2×2^x>=0 恒成立， ∵2^x属于[1,2], ∴a>=4

楼主，纯手工很辛苦 望设为最佳 谢过！

追问

为什么不可以由f(0)=0来求出a，【-1,1】上的奇函数有f(0)=0
所以第二问有点疑惑？既然可以求出a ,为什么还要对a 进行讨论？

Answer 2

1、-f(x)=f(-x)，f(x)=-f(-x)，得在[0,1]上，解析式为f(x)=-[1/4^(-x)-a/2^(-x)]=a2^x-4^x
2、设2^x=t（t>0)，则：f（x）=at-t²=-（t-a/2）²+a²/4，所以，当2^x=a/2时，取得最大值a²/4
3、在[0,1]上，f(x递增，f(x)的导数在[0,1]上是大于0的，即：a2^xln2-4^xln4>0，2^x、4^x都是大于0的，所以，a>4^xln4/2^xln2=2^xln2=2ln2

追问

不明白这个问题奇函数存在f(0)=0不是就可以直接求出 a 了吗
答案是对a进行了讨论解
(2)∵f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]，
令t＝2x，t∈[1,2]，
∴g(t)＝a·t－t2＝－(t－)2＋.
当≤1，
即a≤2时，g(t)max＝g(1)＝a－1；
当1<<2，
即2<a<4时，g(t)max＝g()＝；
当≥2，
即a≥4时，g(t)max＝g(2)＝2a－4.
综上：当a≤2时，f(x)的最大值为a－1，
当2<a<4时，f(x)的最大值为，
当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4.

追答

可以，但是那样求出的a使得函数不是单调函数。
第二问你是对的，要分情况讨论。

Answer 3

解：X属于[-1,0],f（x）=1/4^x-a/2^x
0≤x≤1，-1≤-x≤0 f（-x）=1/4^(-x)-a/2^(-x) >>>>>>f(x)=a*2^x-4^x
后面的，自己搞定。

追问

在【-1，1】上的奇函数应该有f(0)=0啊

追答

是的。所以，f(0)＝0,求出a＝1
故：在[0,1]的表达式为：f(x)=2^x-4^x
（2）令2^x＝a，则4^x＝(2^x)^2＝a^2
f(a)＝a-a^2令f'(a)＝1-2a＝0 a＝1/2，x＝-1
所以，当a>2^x＝1/2时，f(a)为减函数，即x>-1时，f(x)为减函数。
故【0,1】上的最大值为f(0)＝0
图像如图所示