抛物线z＝x^2＋y^2被平面x+y+z=1截成一椭圆 求原点到此椭圆的最长和最短距离
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问题等价于求d^2=x^2+y^2+z^2在条件z=x^2+y^2和x+y+z=1下的极值
运用拉格朗知日乘数法
记f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+a(x^2+y^2-z)+b(x+y+z-1)
令
f'x=2x+2ax+b=0
f'y=2y+2ay+b=0
f'z=2z-a+b=0
x^2+y^2-z=0
x+y+z-1=0
解得
x=y=(-1±√3)/2,z=2-＋√3
得d1=√(9-5√3),d2=√(9+5√3)
所以原点与该椭圆上点的距离的最大值为道d2=√(9+5√3),最小值为d1=√(9-5√3)
运用拉格朗知日乘数法
记f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+a(x^2+y^2-z)+b(x+y+z-1)
令
f'x=2x+2ax+b=0
f'y=2y+2ay+b=0
f'z=2z-a+b=0
x^2+y^2-z=0
x+y+z-1=0
解得
x=y=(-1±√3)/2,z=2-＋√3
得d1=√(9-5√3),d2=√(9+5√3)
所以原点与该椭圆上点的距离的最大值为道d2=√(9+5√3),最小值为d1=√(9-5√3)
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