Question

高等数学 数列极限

Answer 1

丨q丨的n次方
<
ε,
两边同时取常用对数，那么nlg丨q丨<
lgε，注意到nlg丨q丨是负的，那么不等号要变，
n>lgε/lg丨q丨。取lgε/lg丨q丨的整数部分，但是这里的N可能是负的，所以，当加上限制条件0<ε<丨q丨，
发现：对于n>lgε/lg丨q丨而言：分子是负的，分母也是负的，并且由于分子的绝对值大，分母的绝对值小，
所以取整后一定是正整数。

Answer 2

不能省略
举个反例就是
不妨令0<q<1
你想一想
如果ε>|q|
===>ε>q^1
又因为0<q<1
那么要可以取ε=q^(-7)
那么后面的q^n<ε=q^(-7)
那么解得是n>-7
则存在n为负数满足|q^n|<ε
显然n不能取负数

所以必须让0<ε<|q|

Answer 3

之所以要有红圈圈住的语句是因为ε大于等于绝对值q的情况显然对所有自然数成立，即显然存在n满足定义；但红圈圈住的语句是否存在n满足定义呢，不显然，所以要计算一下。
这本教材措辞还不够精确，应该说“ε大于等于绝对值q的情况显然存在n满足定义，故只需讨论0<ε<绝对值q的情况，……”
所以对熟悉“ε-N”定义的人可以省略，对初学者应保留。