Question

高一的数学题。已知集合A=｛-1≤x≤a，a＞-1且a∈R｝，B=｛y=2x-1,x∈A｝,C=z=x2,x∈A

已知集合A=｛xl -1≤x≤a，a＞-1且a∈R｝，B=｛yl y=2x-1,x∈A｝,C=｛zl z=x的平方,x∈A｝。则当实数a满足什么条件时，才能有C包含于B？
请列出解答过程，谢谢。

Answer 1

根据A=｛xl -1≤x≤a，a＞-1且a∈R｝，
可以知道 a≥-1

由于y=2x-1 是单调函数
那么
B=｛yl y=2x-1,x∈A｝ = {y| -3 ≤y≤2a-1} = [-3， 2a-1]

z= x² 是对称轴为x=0且开口向上的抛物线
关于a讨论如下:
(1) 当 a≤0 时,
对于z,当x = -1 取到最大值, 当x=a时取到最小值,有 C=｛zl z=x的平方,x∈A｝=[a², 1]
此时,若要 C包含于B
则需满足 2a-1≤ 1 且 -1≤a≤0
综合有 -1≤a≤0

(2) 当 0≤a≤1时
对于z, 当x=-1时候取到最大值,当x=0时候取到最小值,C=｛zl z=x的平方,x∈A｝=[0, 1]
此时,若要 C包含于B
则需满足 2a-1≤ 1 且 0≤a≤1
综合有0≤a≤1

(3)当a≥1时
对于z,当x=a时取到最大值,当x=0时,取到最小值,C=｛zl z=x的平方,x∈A｝=[0, a²]
此时,若要 C包含于B
则需满足 2a-1≤ a² 且 a≥1
2a-1≤ a² => a² - 2a + 1 ≥0 =>(a-1)²≥0 恒成立
综合得到 a≥1

综合(1),(2),(3)得到
当a ≥-1时,恒有C包含于B

Answer 2

因为 集合A=｛xl -1≤x≤a，a＞-1且a∈R｝，B=｛yl y=2x-1,x∈A｝,
所以 {y|-3≤y≤2a-1}
因为 x的平方是非负数 且C包含于B
所以 2a-1大于等于0
所以 a大于等于二分之一

Answer 3

a=1/2

追问

请列出解答过程，谢谢。

追答

C与B交集为x2=2x-1,得x=1/2

Answer 4

a≤1

追问

请列出解答过程，谢谢。

追答

C 包含于B，就是说C是B的子集吧
先反证法检验一下三楼的答案a ≥-1恒成立，那么假设a=2 A=｛xl -1≤x≤2｝，B=[-3,3] C=[0，4]
那么谁是谁的子集？
C是B的子集具体在图像上表现就是Y=X²在Y=2X-1的下方吧，而集合A相当于在求范围
画图找焦点。