Question

解关于x的不等式：(1-m)x^2+2mx-(m+3)>0，其中m∈R。

Answer 1

(1)当m=1时，可化为2x-4>0，此时不等式解为x>2；
(2)当m≠1时，△=4m²-4(1-m)[-(m+3)]=4(3-2m)
1-m>0且△<0时，不等式解为任何实数，此时m<1且m>1.5，但这样的m不存在；
1-m>0且△=0时，y=(1-m)x^2+2mx-(m+3)与X轴仅有一交点，原不等式有解，但这样的m不存在；
1-m>0且△>0时，m<1且m<1.5，即m<1时y=(1-m)x^2+2mx-(m+3)与X轴有二交点，原不等式解为
x>[-m+√（3-2m）]/（1-m）或x<[-m-√（3-2m）]/（1-m）；
1-m<0且△≤0时，即m≥1.5时原不等式无解；
1-m<0且△>0时，即1<m<1.5时y=(1-m)x^2+2mx-(m+3)与X轴有二交点，原不等式解为
[-m-√（3-2m）]/（1-m）<x<[-m+√（3-2m）]/（1-m）

综上所述：
当m<1时，原不等式解为x>[-m+√（3-2m）]/（1-m）或x<[-m-√（3-2m）]/（1-m）；
当m=1时，不等式解为x>2；
当1<m<1.5时，原不等式解为[-m-√（3-2m）]/（1-m）<x<[-m+√（3-2m）]/（1-m）；
当m≥1.5时原不等式无解

Answer 2

(1-m)x^2+2mx-(m+3)=0 的二次方程判别式=(2m)^2+4(1-m)(m+3)=12-8m
当12-8m<0 即m>3/2时，(1-m)<0，此时(1-m)x^2+2mx-(m+3)恒小于0，方程无解。
当12-8m>=0 即m<=3/2时分三种情况
(1-m)<0 1<m<=3/2 =>[-m+根号(3-2m)]/(1-m)<x<=[-m-根号(3-2m)]/(1-m)
1-m=0 m=1 =>x>2
(1-m)>0 m<1 =>x>[-m+根号(3-2m)]/(1-m)或者x<[-m-根号(3-2m)]/(1-m)