Question

设数列{an}的前n项和为Sn=2n的平方，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2(a2-a1)=b1

Answer 1

解：（1）：当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2（n-1）2=4n-2，
故{an}的通项公式为an=4n-2，即{an}是a1=2，公差d=4的等差数列．
设{bn}的通项公式为q，则b1qd=b1，d=4，∴q=1
4
．
故bn=b1qn-1=2×1
4n-1
，即{bn}的通项公式为bn=2
4n-1
．
（II）∵cn=an
bn
=4n-2
2
4n-1
=（2n-1）4n-1，
Tn=c1+c2+…+cn
Tn=1+3×41+5×42+…+（2n-1）4n-1
4Tn=1×4+3×42+5×43+…+（2n-3）4n-1+（2n-1）4n
两式相减得，3Tn=-1-2（41+42+43+…+4n-1）+（2n-1）4n=1
3
[（6n-1）4n+5]
∴Tn=1
9
[（6n-5）4n+5]