Question

如图，PA,PC分别是三角形ABC外角角MAC和角NCA的平分线，它们交于点P，PD垂直BM与D,PF垂直BN于F，

求证，BP为角MBN的平分线

Answer 1

证明：过P作PE⊥AC于E，
因PA平分角MAC
所以PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
同理，PF= PE
所以 PF=PD
因PD垂直BM与D,PF垂直BN于F，
所以点P在角NBM的角平分线上
即BP为角MBN的平分线

Answer 2

证明：过P作PE⊥AC于E，
∵PA平分∠MAC
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
同理，PF= PE
∴PF=PD
∵PD⊥BM,PF⊥BN，
∴点P在∠NBM的角平分线上
即BP为∠MBN的平分线

Answer 3

由P点向AC作垂线交AC于E,
在△APD和△APE中
因为AP平分∠MAC
所以 DP=EP，（角平分线的性质）
同理PE=PF
所以PD=PF
所以P在∠MBN的角平分线上
所以PB平方∠MBN