Question

已知集合P=[1/2,2],，函数y=log2(ax^2-2x+2)的定义域为Q, 1.若P∩Q≠空集，求实数a取值范围。

Answer 1

y=log2(ax^2-2x+2)的定义域Q是ax^2-2x+2>0...（1）的解集,
P∩Q=空集说明该解集不在[1/2,2]内，即x>2或x<1/2...(2)
由（1），得a>-2/x^2+2/x，故a>(-2/x^2+2/x)min(只有a比最小值大，不等式（1）才能有解。
令t=1/x(t>2或t<1/2),则-2/x^2+2/x=-2t^2+2t,其图像为开口向下，对称轴为t=1/2的抛物线，无最小值。故不等式（1）总有解。
但当x∈[1/2,2]时,t∈[1/2,2]
-2/x^2+2/x=-2t^2+2t∈【-4，1/2】
故a∈（-∞，-4）∪（1/2，∞）

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追问

pnq不等于空集

追答

最佳答案 解:1.当a =0时，定义域为Q=(-∞,1),显然满足P∩Q≠空集。
当a≠0时，P∩Q≠空集意即:不等式 ax^2-2x+2＞0在区间[1/2,2]内有解.
也就是不等式 a-2/x+2/x^2＞0 有解，
设y=a-2/x+2/x^2=2(1/x-1/2)^2-1/2+a 则当 x∈[1/2,2]时，
y=2(1/x-1/2)^2-1/2+a 单减，y∈[a-1/2,a+4],
所以要使a-2/x+2/x^2＞0在区间[1/2,2]内有解，只需 a+4＞0，即a＞-4

2.方程log2(ax^2-2x+2)=2在[1/2,2]上有解 ，也就是ax^2-2x+2=4 即：
ax^2-2x-2=0 在[1/2,2]上有解。
当a=0时，x=-1不满足条件
当a≠0时，方程ax^2-2x-2=0 在[1/2,2]上有解，也就是方程
2(1/x+1/2)^2-1/2-a=0 在[1/2,2]上有解。
（同上处理）因为x∈[1/2,2]时，2(1/x+1/2)^2-1/2-a∈[3/2-a,12-a]
所以方程2(1/x+1/2)^2-1/2-a=0 在[1/2,2]上有解，就是0∈[3/2-a,12-a]
所以a∈[3/2,12]

Answer 2

f（x）=ax^2-2x+2＞0
欲使P∩Q≠空集，则需
1.当f（x）与x轴不相交时，a＞0，△＜0，a＞1/2
2.当当f（x）与x轴不相交时，a＜0，△＞=0，a＜=1/2，f（x）=0，x=1±根号（1-2a）/a
1+根号（1-2a）/a＞2，无解
1-根号（1-2a）/a＜1/2，解得，（a＞0不合题意舍去）或者a＜-4
综上，实数a的取值范围为：a＞1/2并a＜-4