Question

高中数学，已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n 愿您能详细解答

已知数列{an}的前n项和Sn。且对任意正整数n有sn*[a／2(a-1)]*an*n成等差数列。 令bn=(an ＋1)*lg(an ＋1)。 （1）求{an}的通项公式an。(用n，a表示) （2）当a=8／9时。数列{bn}是否存在最小项，若有，请求出第几项。 (3)若{bn}是一个单调递增数列，请求出a的取值范围。 麻烦您了，愿能详细解答

Answer 1

解：由题意知：
a/(a-1)a(n)=s(n)+n
a/(a-1)a(1)=s(1)+1=a(1)+1
a(1)=a-1=s(1)
a/(a-1)a(n+1)=s(n+1)+n+1
a/(a-1)[a(n+1)-a(n)]=s(n+1)-s(n)+1=a(n+1)+1
a(n+1)=a*a(n)+a-1
a(n+1)+1=a[a(n)+1]
{a(n)+1}是首项为a(1)+1=a,公比为a的等比数列.
a(n)+1=a*a^(n-1)=a^n
a(n)=a^n
-
1
(2)
b(n)=[a(n)+1]lg[a(n)+1]=a^n*lg[a^n]=lg(a)*n*a^n,
a>0.
a=8/9
b(n)=lg(8/9)*n*(8/9)^n
<
0
lim_{n->正无穷}b(n)
=
0
>
b(n)
所以,不存在最小项.
(3)
b(n)=lg(a)*n*a^n,
a>0.
b(n+1)=lg(a)*(n+1)*a^(n+1)
0<b(n+1)-b(n)=lg(a)*a^n*(n+1)[a
-
n/(n+1)]
a>1时,lg(a)>0,
a^n
>
0,
a
-
n/(n+1)>1-n/(n+1)=1/(n+1)>0,b(n+1)>b(n).满足要求.
0<a<=1/2时,lg(a)<0,
a^n>0,
0>-a>=-1/2,
1>1-a>=1/2,
1<1/(1-a)<=2,
0<a<a/(1-a)<=2a<=2*(1/2)=1,
n>=1>=a/(1-a),
a-n/(n+1)<=0,满足要求.
1/2<a<1时,lg(a)<0,a^n>0,
b(2)-b(1)=lg(a)*a*2[a-1/2]<0,不满足要求.
综合,知
a>1或0<a<=1/2时,{b(n)}单调增.