Question

已知数列（an)的前n项和Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2(n为正整数

（1）令bn=2^n*an，求证数列（bn)是等差数列，并求数列（an)的通项公式
（2）令cn=(n+1)/n*an,Tn=c1+c2+……+cn试比较Tn与5n/(2n+1)的大小。

Answer 1

解：（1）∵ Sn=－an－(1/2)^(n-1)+2…………①，则S(n+1)=－a(n+1)－(1/2)^n+2…………②
②－①得 a(n+1)=-a(n+1)+an+(1/2)^n，即 2a(n+1)=an+(1/2)^n，两边同乘以2^n得
2^(n+1)*a(n+1)=2^n*an+1 ∵bn=2^n*an，∴b(n+1)=bn+1 即 b(n+1)－bn＝1，∴数列(bn)是等差数列，公差为1，由①得 a1=1/2，∴ b1=1，bn=n，an=n*(1/2)^n
（2）由题意得 cn=(n+1)(1/2)^n ，Tn=2*(1/2)+3*(1/2)^2+4*(1/2)^3+……+(n+1)*(1/2)^n
(1/2)*Tn=2*(1/2)^2+3*(1/2)^3+4*(1/2)^4+……+n*(1/2)^n+(n+1)*(1/2)^(n+1)，两式相减得
(1/2)*Tn=2*(1/2)+(1/2)^2+(1/2)^3+……+(1/2)^n-(n+1)*(1/2)^(n+1)，
=1/2+[1-(1/2)^n]-(n+1)*(1/2)^(n+1)
∴Tn=3-(1/2)^n(n+3)与5n/(2n+1)比较大小，可以验证：当n=1,2时，Tn>5n/(2n+1)
当n>2时，Tn<5n/(2n+1)

追问

请问 如何验证呢 请写出过程阿。。。

追答

解：（1）∵ Sn=－an－(1/2)^(n-1)+2…………①，则S(n+1)=－a(n+1)－(1/2)^n+2…………②
②－①得 a(n+1)=-a(n+1)+an+(1/2)^n，即 2a(n+1)=an+(1/2)^n，两边同乘以2^n得
2^(n+1)*a(n+1)=2^n*an+1 ∵bn=2^n*an，∴b(n+1)=bn+1 即 b(n+1)－bn＝1，∴数列(bn)是等差数列，公差为1，由①得 a1=1/2，∴ b1=1，bn=n，an=n*(1/2)^n
（2）由题意得 cn=(n+1)(1/2)^n ，Tn=2*(1/2)+3*(1/2)^2+4*(1/2)^3+……+(n+1)*(1/2)^n
(1/2)*Tn=2*(1/2)^2+3*(1/2)^3+4*(1/2)^4+……+n*(1/2)^n+(n+1)*(1/2)^(n+1)，两式相减得
(1/2)*Tn=2*(1/2)+(1/2)^2+(1/2)^3+……+(1/2)^n-(n+1)*(1/2)^(n+1)，
=1/2+[1-(1/2)^n]-(n+1)*(1/2)^(n+1)
∴Tn=3-(1/2)^n(n+3)与5n/(2n+1)比较大小，可以验证：当n=1,2时，Tn2时，Tn>5n/(2n+1)
作差：Tn-5n/(2n+1)=3-(1/2)^n(n+3)－5n/(2n+1)=1/2－(1/2)^n(n+3)+5/(4n+2)，
当n=1，2时，Tn-5n/(2n+1)0恒成立，又n为正整数，∴ 1/2－(1/2)^n(n+3)+5/(4n+2)>0，即Tn>5n/(2n+1)

Answer 2

http://zhidao.baidu.com/question/271189307.html
做了另一道已经头昏脑胀了
Tn的比较是关键，
按单调性，Tn+1-Tn=（1/2)^n（n/2+1）>0 Tn递增， 最小值T1=1 T2=7/4
令Cn=5n/2n+1 值域（5/3,5/2） n为正整数， 5n/2n+1的倒数递减，则它递增，n=1，C1最小5/3 ,C2=2 那个猜测貌似是错的
所以两个递增的函数，比较大小，应当相减后，假设大于0
Tn-Cn=（n+3）[1-(1/2)^n（2n+1）]>0, 解出来成立的情况就是。。 n>2 Tn>Cn
n=1，2 Tn<Cn

Answer 3

2(n 这个是什么意思

追问

（an)的前n项和Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2 n为正整数

追答

看图