Question

已知空间直角坐标系内ABCD四点坐标，判断他们是否共面

A（2,3,1）B（4,1，-2）C（6,3,7）、D(6,3,7)

Answer 1

已知空间直角坐标系内ABCD四点坐标，判断他们是否共面，A（2,3,1）；B（4,1，-2）；
C（6,3,7）；D(6,3,7)。
解：过其中任意三点作一平面，再看第四点是否在此平面上；若在，则四点共面；若不在，则
四点不共面。
设过A，B，C三点的平面方程依次为：
A(x-2)+B(y-3)+C(z-1)=0............(1)
A(x-4)+B(y-1)+C(z+2)=0...........(2)
A(x-6)+B(y-3)+C(z-7)=0............(3)
将三式展开，把不含x，y，z的项移至右边，便得：
2A+3B+C=4A+B-2C=6A+3B+7C=-D
于是得：
2A-2B-3C=0...........................(4)
4A+6C=0，即2A+3C=0..........(5)
(4)+(5)得4A-2B=0，故2A=B=-3C，取C=-2，则B=6，A=3，D=-(6+18-2)=-22，
于是得过A，B，C三点的平面方程为：
3x+6y-2z-22=0...............(6)
将D(6，3，7)的坐标代入得：18+18-14-22=0，故D在平面(6)上，∴A，B，C，D，四点共面。

Answer 2

设：a（0,2），b（-根3,0），c（0，-2），d（根3,0）则a,c关于原点对称，oa=oc；同样，b,d关于原点对称，ob=od.。因为ac⊥bd，且oa=ob,oc=od，所以四边形abcd是菱形。