Question

x的平方+y的平方=1,求xy的最大值

Answer 1

x²+y²=1，求xy最大值。
这是一道高中求最值的数学题，解答方法很多:可以采取代数方法，通过消元，将代数式化成关于所求最值的一元二次方程，根据韦达定理求出最值；也可以数形结合，运用三角函数求出最值。具体过程如下:
方法一:代数方法
设xy=t, 因x²+y²=1，有
1≥y²=1－x²≥0，
即0≥－x²≥－1，0≤x²≤1，
得0≤lxl≤1，同理，0≤lyl≤1
则－1≤xy=t≤1
x²+y²=1
x²+(t/x)²－1=0
(x²)²－x²+t²=0
因方程必然有解
有△=(－1)²－4t²≥0
4t²≤1
t²≤1/4
－1/2≤t≤1/2
代入t=1/2到上式得
(x²)²－x²+1/4=0
(x²－1/2)²=0
x²=1/2
x=±0.5根号2，对应的有
y=±0.5根号2
所以xy最大值是1/2，最小值是－1/2。

方法二:三角函数法
有x²+y²=1设
x=sina, y=cosa,其中
－π/2≤a≤π/2。
则xy=sina*cosa
=1/2*2sinacosa
=1/2sin2a
因－π/2≤a≤π/2，
－π≤2a≤π
故－1≤sin2a≤1
－1/2≤1/2sin2a≤1/2
所以xy=1/2sin2a最大值是1/2。

本题已为您解答完毕，不理解之处可以在追问里继续问我。