Question

问一道数学题，高一的 有答案但急求过程 在线等

方程x^2-(tanA+cotA)x+1=0的一个根是2+根号3，则sin2A=？
答案是1/2 求过程

Answer 1

解：x=2+√3代入方程中得：
(2+√3)^2-(tanA+cotA)(2+√3)+1=0
7+4√3-(2+√3)(tanA+cotA)+1=0
(2+√3)(tanA+cotA)=8+4√3=4(2+√3)
则：tanA+cotA=4
即：sinA/cosA+cosA/sinA=4
[sin^2(A)+cos^2(A)]/(sinAcosA)=4
1/(sinAcosA)=4
则：sinAcosA=1/4
则：sin2A=2sinAcosA=1/2

Answer 2

设该方程两根为x1,x2
x1+x2=tanA+cotA=sinA/cosA+cosA/sinA=1/sinAcosA=2/sin2A
x1x2=1
因为一个根为2+√3
另一根为1/(2+√3)=2-√3
所以2/sin2A=2+√3+2-√3=4
sin2A=1/2

Answer 3

代入x=2+根号3
（2+根号3）²-（sina/cosa+cosa/sina）×（2+根号3）+1=0
7+4根号3-(2+根号3)×（sin²a+cos²a）/sinacosa+1=0
8+4根号3=(2+根号3)×1/0.5sin2a
sin2a=1/2

Answer 4

把根2+根号3代入方程x^2-(tanA+cotA)x+1=0，再把tanA，cotA化为sinA,cosA的形式，然后通分得到tanA+cotA=1/sin2A,整理一下就可以了。

Answer 5

设x²-(tanα+cotα)x+1=0的两跟分别为x1=2-√3、x2
由韦达定理，有x1x2=1，x2=1/x1=1/(2-√3)=2+√3
原方程可分解因式为[x-(2-√3)][x-(2+√3)]=0
展开得x²-4x+1=0
对照原方程中的系数，有tanα+cotα=4
tanα+cotα=tanα+1/tanα=(1+tan²α)/tanα=sec²α/tanα=1/sinαcosα=2/sin2α=4
sin2α=1/2

Answer 6

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