Question

方程x²-3x+1=0的两根α，β也是方程x的4次方-px²+q=0的两根。求以p，q为根的一元二次方程

Answer 1

方程x²-3x+1=0的两根α,β
则α+β=3,α*β=1

α,β也是方程x的4次方-px²+q=0的两根
所以α²,β²是x²-px+q=0的两根

故p=α²+β²=(α+β)²-2α*β=3²-2=7
q=α²*β²=(α*β)²=1

所以以p，q为根的一元二次方程是x^2-(p+q)x+p*q=0
即x^2-8x+7=0

如果不懂，请Hi我，祝学习愉快！

追问

第一问是 求p+q的值 怎么算？

追答

上面已经求得p=7,q=1
所以p+q=8

Answer 2

这里用a和b代替α，β
解：韦达定理
对于x²-3x+1=0
a+b=3
ab=1

a和b是方程x^4-px²+q=0的根
a^4-pa²+q=0
b^4-pb²+q=0
两式相减
a^4-b^4-p(a²-b²)=0
(a²+b²)(a²-b²)-p(a²-b²)=0
a不等于b
所以p=a²+b²=(a+b)²-2ab=9-2=7
两式相加
a^4+b^4-p(a²+b²)+2q=0
a^4+b^4=(a²+b²)²-2a²b²=[(a+b)²-2ab]²-2(ab)²=(9-2)²-2=47
所以
47-49+2q=0
q=1
p+q=8
pq=7
所求方程：x²-8x+7=0

Answer 3

解：由求根公式可求得方程x^2-3x+1=0的两根为：
x1=(3+√5)/2；x2=(3-√5)/2
即α，β分别是：(3+√5)/2和(3-√5)/2
又因为α，β也是方程x^4-px^2+q=0的两根
将α，β代入可得：[(3+√5)/2]^4+p[(3+√5)/2]^2+q=0
[(3-√5)/2]^4+p[(3-√5)/2]^2+q=0
整理得到：(47+21√5)/2+(7+3√5)p/2+q=0 ①
(47-21√5)/2+(7-3√5)p/2+q=0 ②
解由①、②组成的二元一次方程组得：p=7；q=1
同样，由韦达定理可求得以p，q为根的一元二次方程为：
x^2-8x+7=0