Question

设圆上的点A（2,3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为2√2，求圆的方程。

Answer 1

已知圆上的点A（2,3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,即圆心在直线x+2y=0上
所以，设圆心为（2a，-a），R²=（2a-2）²+（-a-3）²
又知道与直线x-y+1=0相交的弦长为2√2
所以，圆心到直线l得距离d=|3a+1|/√2=√(R²-2)
经转化，得（a-7）（a-3）=0
所以，a=3或7
经检验成立
故，圆方程为（x-6）²+（y+3）²=52或（x-14）²+（y+7）²=244

Answer 2

解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，
∵点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心（a，b）在直线x+2y=0上，
∴a+2b=0，①
（2-a）2+（3-b）2=r2．②
又直线x-y+1=0截圆所得的弦长为2倍根号 2 ，
圆心（a，b）到直线x-y+1的距离为d=|a-b+1| 1+1 =|a-b+1| 2 ，
则根据垂径定理得：r2-（a-b+1 2 ）2=（ 2 ）2③
解由方程①、②、③组成的方程组得：
b=-3 a=6 r2=52 或 b=-7 a=14 r2=244 ∴所求圆的方程为（x-6）2+（y+3）2=52或（x-14）2+（y+7）2=244．