Question

如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，M为AD的中点，且BM平分∠ABC。求证：1.CM平分∠BCD：2.AB+DC=BC

Answer 1

在BC上截取BN=AB，并连接AN，连接BM交AN于G，三角形ABN为等腰三角形
因BM平分∠ABC，所以BM垂直平分AN，AG=GN，∠NGB=90°
又因为M为AD的中点，所以MB∥DN，∠NGB=∠GND=90°
△AND为RT△，∠NAD+∠ADN=90°且MN为斜边AD上的中线，AM=MN=MD,
又AD⊥DC，AB∥DC，故，∠DAB=90°∠CDA=90°
∠ADN+∠NDC=90，∠NAD+∠BAN=90°所以∠NDC=∠NAD
由前已知，∠BNA=∠BAN，故，∠NAD+∠BNA=90°，而∠BNA+∠DNC=90°，
所以∠DNC=∠NAD,，∠NDC=∠DNC，三角形DCN为等腰三角形，NC=DC
MC为公共边，由前已证得MN=MD，所以三角形MNC≌三角形MDC，∠MCN=∠MCD
CM平分∠BCD
因为三角形ABN和三角形DCN均为等腰三角形，所以AB=BN，NC=DC
AB+DC=BN+NC=BC

Answer 2

证明：1、
过M作MN垂直BC于N
BM平分∠BCD
MA垂直AB，MN垂直BC
所以MA=MN
因为M为AD中点，所以AM=MD
所以MN=MN
因为MN垂直BC，MD垂直CD
所以CM平分∠BCD
2、因为∠ABC+∠BCD=180
所以1/2∠ABC+1/2∠BCD=90度
即∠CBM+∠BCM=90度
所以∠BMC=90度
即BM垂直CM
2、取BC中点G
连接MG
MG为中位线
所以2MG=AB+CD
在直角三角形中，MG为BC中线
所以2MG=BC
所以AB+CD=BC

Answer 3

1.过M做MN垂直BC于N
∵AD⊥DC
AB∥DC
∴∠MAB=∠MNB
∵∠ABM=∠MBN
BM=BM
∴△AMB ≌ △MNB
∴AM=MN
∵M为AD的中点
∴DM=MN
∵CM=CM
∴△MDC≌△MNC
∴∠MCD=∠MCN
∴CM平分∠BCD
2.∵△AMB ≌ △MNB
∴AB=BN
∵△MDC≌△MNC
∴DC=CN
∴AB+DC=BC

Answer 4

(1)做ME垂直BC于E
∵AD⊥DC AB∥DC
∴∠MAB=∠MEB
∵∠ABM=∠MBE BM=BM
∴△AMB ≌ △MEB
∴AM=ME∵M为AD的中点
∴DM=ME∵CM=CM
∴△MDC≌△MEC
∴∠MCD=∠MCE∴CM平分∠BCD
(2)∵△AMB ≌ △MEB
∴AB=BE∵△MDC≌△MEC
∴DC=CE∴AB+DC=BC

Answer 5

1.过M做MN垂直BC于N
∵AD⊥DC
AB∥DC
∴∠MAB=∠MNB
∵∠ABM=∠MBN
BM=BM
∴△AMB ≌ △MNB
∴AM=MN
∵M为AD的中点
∴DM=MN
∵CM=CM
∴△MDC≌△MNC
∴∠MCD=∠MCN
∴CM平分∠BCD
2.∵△AMB ≌ △MNB
∴AB=BN
∵△MDC≌△MNC
∴DC=CN
∴AB+DC=BC