Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD平行BC,DC垂直于BC,AB=10,AD=6,DC=8,BC=12,点E在BC上，点F在AB上。

如图，在直角梯形ABCD中，AD平行BC,DC垂直于BC,AB=10,AD=6,DC=8,BC=12,点E在BC上，点F在AB上。
（1）若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示三角形BEF的面积。
（2）是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，说明理由。
（3）若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1:2两部分，将三角形BEF的面积记为S1，五边形AFECD的面积记为S2，且S1：S2=k，求出k的最大值。

Answer 1

(1)ABCD的周长=36
过A做AG垂直于BC垂足为G
易求BG=6
所以sinB=4/5
又EF平分直角梯形ABCD的周长，所以BF=18-X
所以三角形BEF高为BFxsinB=（18-X）x 4/5
三角形BEF的面积=X x (18-X）x 4/5 x0.5
=(18X-X^2)X 2/5
(2）没有
直角梯形ABCD面积=18x8x0.5=72
所以 ： 三角形BEF的面积 =36=(18X-X^2)X 2/5
0 =X^2-18X+90
X不存在
（3）线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1:2两部分
同（1）三角形BEF的面积=X x (12-X）x 4/5 x0.5
=(12X-X^2)X 2/5
所以当(12X-X^2)X 2/5 取最大值时K最大
(12X-X^2)X 2/5最大值为14.4
所以 五边形AFECD的面积为57.6
所以K=0.25

仅供参考

Answer 2

（1）直角梯形ABCD的周长为10+6+12+8=36所以BE+BF=18
连接AE则三角形AEB的面积=(BE*DC)/2=(x*8)/2=4x。设E到AB得距离为h
又三角形AEB的面积=(AB*h)/2=(10*h)/2=5h
所以5h=4x即h=(4/5)x
所以 三角形BEF的面积=(BF*h ) /2=(1/2)(18-x)(4/5) x=-(2/5) x²+(36/5)x（8《x《12）
(0<(18-x)《10得8《x<18又0<x《12所以8《x《12)
（2）直角梯形ABCD的面积=【 （6+12）*8】/2=72，所以（直角梯形ABCD的面积）/2=36
令三角形BEF的面积=36
得-(2/5) x²+(36/5)x=36
进而得x²-18x+90=0得(x-9)²+9=0
所以不存在
（3）不会了