Question

高等代数理论基础25：线性方程组解的结构

Answer 1

给定齐次线性方程组

它的解所成的集合具有以下性质：

1.两个解的和还是方程组的解

证明：

2.一个解的倍数还是方程组的解

证明：

注：解的线性组合还是方程组的解

定义：齐次线性方程组的任一解都能表成 的线性组合,且 线性无关,则称 为方程组的一个基础解系

定理：在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系,且基础解系所含解的个数等于n-r,r表示系数矩阵的秩

证明：

注：任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系

给定一般线性方程组

将常数项换成0即得齐次方程组,称为方程组的导出组,方程组的解与它的导出组的解之间关系如下：

1.线性方程组的两个解的差是它的导出组的解

证明：

2.线性方程组的一个解与它的导出组的一个解之和还是这个线性方程组的一个解

证明：

定理：若 是方程组的一个特解,则方程组的任一解 都可表成 ,其中 是导出组的一个解

对方程组的任一特解 ,当 取遍它的导出组的全部解时,即得方程组的全部解

证明：

注：可用导出组的基础解系来表出一般方程的一般解：若 是方程组的一个特解, 是导出组的一个基础解系,则方程组的任一个解 都可表成

推论：在方程组有解的条件下,解是唯一的充要条件是它的导出组只有零解

证明：

给定线性方程组

方程组中每一个方程表示一个平面,线性方程组有没有解即两个平面有没有交点,方程组系数矩阵与增广矩阵分别为

,

它们的秩有三种情形：

1.r(A)=1,r( )=1：即A的两行成比例,两个平面平行,又 的两行也成比例,所以两个平面重合,方程组有解

2.r(A)=1,r( )=2：即两个平面平行而不重合

3.r(A)=2,r( )=2：即两个平面不平行,一定相交,方程组有解

设矩阵A的秩为2,此时一般解中有一个自由未知量,不妨设为 ,一般解的形式为

从几何上看,两个不平行的平面相交成一条直线,将一般解改写一下就是直线的点向式方程 ,引入参数t,令 可得 ,为直线的参数方程