Question

已知函数f(x)=loga^x,记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1],若g(x)在区间[1/2,2]上是增函数,求 a的取值范围

除了用二次函数解还有什么解法吗？
答案是(0,1/2]。

Answer 1

f(x)=log a^x = (lg a) * x
g(x)=f(x) [ f(x) + f(2) - 1] = (lga)² x² + (2lga -1)lga * x
g '(x) = 2 (lga)² x + (2lga -1)lga
g '(x) ≥ 0 => x + (2lga -1) / (2lga) ≥ 0 => x ≥ 1/(2lga) -1
[1/2, 2] => 1/(2lga) -1 ≤ 1/2 => 1/lga ≤ 3
(1) a>1, lga ≥ 1/3 => a ≥ 10^(1/3)
(2) 0<a<1, lga ≤ 1/3 => 0<a<1
综上，a的取值范围：0<a<1 或 a ≥ 10^(1/3)

Answer 2

解：已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，
则f（x）=logax，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=（logax）2+（loga2-1）logax．
当a＞1时，若y=g（x）在区间[1/2 ，2]上是增函数，y=logax为增函数，

令t=logax，t∈[loga1/2 ，loga2]，要求对称轴(-loga2-1)/2 ≤loga1/2 ，矛盾；
当0＜a＜1时，若y=g（x）在区间[1/2 ，2]上是增函数，y=logax为减函数，令t=logax，t∈[loga1/2 ，loga2]，要求对称轴(-loga2-1)/2 ≥loga1/2 ，
解得a≤1/2,所以实数a的取值范围是(0，1/2]故选D．