Question

已知1<a<2,函数f(x)=loga(x+√x^2-1)(x>1)

已知1<a<2,函数f(x)=loga(x+√x^2-1)(x>1)
问(1)求f(x)的反函数及其定义域D
(2)设x∈D,g(x)=2^x+2(-x),比较f(x)的反函数与g(x)的大小
要详细解答
loga(x+√x^2-1)的意思是以a为底x加（x的平方减1）的平方根

Answer 1

已知1<a<2,函数f(x)=loga(x+√x^2-1)(x>1)
问(1)求f(x)的反函数及其定义域D
反函数为x=loga(y+√(y²-1)(y>1)
a^x=y+√(y²-1） 两边同时乘以y-√(y²-1）
则[y-√(y²-1）]a^x=1
则y=[a^(-x)+a^x]/2
因原函数中(x>1)x+√(x²-1)>1
故原函数的值域D为（0,+∞)
则反函数的定义域D为（0,+∞)
反函数为y=[a^(-x)+a^x]/2

(2)设x∈D,g(x)=2^x+2(-x),比较f(x)的反函数与g(x)的大小
g(x)-f-1(x)=2^x+2(-x)-[a^(-x)+a^x]/2>2^x+2(-x)-a^(-x)-a^x
=(2^x-a^x)(1-1/2^x*a^x)
因x>0,1<a<2
所以2^x>a^x>1
则1/2^x*a^x<1
1-1/2^x*a^x>0
故g(x)-f-1(x)>0

Answer 2

(1)
设y=f(x)
所以：
a^(y)=x+√(x^2-1)
a^(y)-x=√(x^2-1)
a^(2y)-2a^(y)x+x^2=x^2-1
a^(2y)+1=2a^(y)x
x= a^(2y)+1 / 2a^(y)
所以所求反函数为f(x)= a^(2x)+1 / 2a^(x)

Answer 3

设y=f(x)

a^(y)=x+√(x^2-1)
a^(y)-x=√(x^2-1)
a^(2y)-2a^(y)x+x^2=x^2-1
a^(2y)+1=2a^(y)x
x= a^(2y)+1 / 2a^(y)
反函数为f(x)= a^(2x)+1 / 2a^(x)