Question

数学分析理论基础7：数列极限存在的条件

Answer 1

定义：若数列 的各项满足关系式 ,则称数列 为递增(递减)数列,递增数列和递减数列统称为单调数列

定理：实数系中,有界的单调数列必有极限

证明：

例：设 , ,证明： 收敛

证：

例：证明数列 , , , , 收敛,并求其极限

证：

例：设S为有界数集,证明：若 ,则存在严格递增数列 ,使得

证：

例：证明极限 存在

证：

例：任何数列都存在单调子列

证：

定理：任何有界数列必有收敛子列

证明：

准则：数列 收敛 使得 时有

证明：

注：

1.Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件

2.Cauchy收敛准则把 定义中 的关系换成了 的关系,无需借助数列以外的数a,只需根据数列本身的特征即可鉴别其敛散性(收发性)

例：证明：任一无限十进制小数 的n位不足近似所组成的数列 满足Cauchy条件,其中 为 中的一个数,

证：