Question

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b，c，已知a，b，c成等比数列，且cosB=3/4.

1.求cotA+cotC
2.设BA*BC=3/2，求a+c的值

Answer 1

因为cosB=3/4， 0<B<π, 所以sinB=√7/4.
由b^2=ac, 和正弦定理可得(sinB)^2 = sinAsinC.
1. cotA + cotC = (cosAsinC + cosCsinA)/(sinAsinC)=sin(A+C)/(sinB)^2 = 1/sinB = 4√7/7.
2. 由cosB=3/4，可得cos(B/2)=√14/4.
由b^2=ac=BC*BA=3/2, 可得b=√6/2.
由(sinB)^2 = sinAsinC=1/2 * (cos(A-C)-cos(A+C))=1/2 * (cos(A-C)+cosB), 解得cos(A-C)=1/8,
进而可得cos((A-C)/2)=3/4.
由正弦定理可得a+c=b*(sinA + sinC)/sinB=2bsin((A+C)/2)cos((A-C)/2)/sinB
=2bcos(B/2)cos((A-C)/2)/sinB
=2*√6/2 * √14/4 * 3/4 /(√7/4)=3√3/2.

Answer 2

1.设B边上的高为h，cotA+cotC=b/h，b²=ac，则sin²B=sinAsinC，1-9/16=7/16=h²/ac=h²/b²，b/h=4√7/7，cotA+cotC=4√7/7；
2.余弦定理得：b²=a²+c²-3ac/2，b²=ac=3/2，(a+c)²=b²+7ac/2=27/4，a+c=3√3/2。