Question

如图,点O是等边三角形ABC内一点,角AOB=110°,角BOC=∠a,△OCD是等边三角形，连接AD。①求证∠ADC=∠a；②

如图,点O是等边三角形ABC内一点,角AOB=110°,角BOC=∠a,△OCD是等边三角形，连接AD。①求证∠ADC=∠a；②当a=150°时，判断△AOD的形状，并说明理由；③当a为多少度时，AO=AD。

Answer 1

1、根据旋转的性质，CO＝CD，角OCD＝60度，所以三角形COD为等边三角形
2、当X=150度时，角ADO也为150度，而角ODC＝60度，所以角ODA＝90度
三角形AOD为直角三角形
3、角AOC＝360-110-X＝250-X，角AOD＝角AOC-60＝190-X
角ADC＝角BOC＝X，所以，角ODA＝X-60
三角形为等腰三角形，当AO＝OD进，角AOD+2×角ODA＝180
即190-X+2×（X-60）＝180,解得X＝110度
当AO＝AD时，角AOD＝角ODA，即190-X＝X-60，解得X＝125度
当OD＝AD时，2×（190-X）+X-60＝180,解得X＝140
所以当X为110度、125度、140度时，三角形AOD是等腰三角形
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追问

那道题和我这道不一样啊？条件就不一样

追答

第一问不同而已，其他一样：
①证明：连接AD，
因为三角形COD为等边三角形，三角形ABC也是等边三角形，所以
CD=CO，AC=BC，
又角OCD=角ACB，而角ACO为公共角，
所以角DCA=角OCB，
由SAS，可知三角形DCA与三角形OCB全等，所以∠ADC=∠a。

Answer 2

2、当X=150度时，角ADO也为150度，而角ODC＝60度，所以角ODA＝90度
三角形AOD为直角三角形

Answer 3

1、根据旋转的性质，CO＝CD，角OCD＝60度，所以三角形COD为等边三角形
2、当X=150度时，角ADO也为150度，而角ODC＝60度，所以角ODA＝90度
三角形AOD为直角三角形
3、角AOC＝360-110-X＝250-X，角AOD＝角AOC-60＝190-X
角ADC＝角BOC＝X，所以，角ODA＝X-60
三角形为等腰三角形，当AO＝OD进，角AOD+2×角ODA＝180
即190-X+2×（X-60）＝180,解得X＝110度
当AO＝AD时，角AOD＝角ODA，即190-X＝X-60，解得X＝125度
当OD＝AD时，2×（190-X）+X-60＝180,解得X＝140
所以当X为110度、125度、140度时，三角形AOD是等腰三角形

Answer 4

1）等边三角形ABC可得：
∠ACB=60°,于是，将三角形BOC绕点C按顺时针方向旋转60度，则B点刚好与A点重合，O点则转到D点。
由此可知△ADC就是旋转后的△BOC，故△ADC≌△BOC。
如果要证明的话，可由BC=AC,BO=AD, OC=CD来证明。
（2）当角a=150度时，由△ADC≌△BOC，
有∠BCO=∠ACD，OC=DC；∠ADC=∠BOC=a（式1）
由∠BCO=∠ACD，∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=60°（式2）
由OC=DC，∠COD=∠CDO=(180°-∠ACB)/2=(180°-60°)/2=60°（式3）
由（式1）、（式3）可知：∠ADO=∠ADC-∠ODC=a-60°=150°-60°=90°（式4）
所以△ADO为直角△，同时可求∠AOD=40°，∠OAD=50°。
（3）用含a的代数式分别表示（或直接写出）角AOD，角ADO以及角OAD的度数：
由（式4）：∠ADO=a-60°（式5）。
由∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=360°-110°-a=250°-a，
∠AOD=∠AOC-∠DOC=250°-a-60°=190°-a（式6）.
∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-a)-(a-60°)=180°-190°+a-a+60°=50°（式7）。
当三角形AOD为等腰三角形时，分两种情况：
①若∠OAD为顶角，则∠AOD=∠ADO=(180°-50°)/2=65°，于是：
由（式6）有190°-a＝65°，即a=125°
由（式5）有a-60°＝65°，即a=125°
②若∠OAD为底角，则∠AOD=50°且∠ADO=80°或∠ADO=50°且∠AOD=80°，于是：
190°-a＝50°，且a-60°＝80°，即a=140°
或
190°-a＝80°，且a-60°＝50°，即a=110°
因此：三角形AOD为等腰三角形时，a的值可能为：125°、140°、110°。