求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种方法如下:
在初中数学教材里,二次函数的解析式一般有以下三种基本形式:
1、一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)。
2、顶点式:y=a(x-m)2+k(a≠0),其中顶点坐标为(m,k),对称轴为直线x=m。
3、交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式的方法我们一般采用待定系数法,即将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法。
我们结合待定系数法和三种二次函数基本形式来确定函数关系式,一定要根据不同条件,设出恰当的解析式,具体如下:
1、若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)来求解。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式y=a(x-m)2+k(a≠0)来求解。
3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离,通常可设交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)来求解。
值得注意的是,用交点式来求二次函数的解析式,前提条件是二次函数与x轴有交点坐标。
求解二次函数解析式,典型例题分析1:
已知一个二次函数图象经过(-1,-3)、(2,12)和(1,1)三点,那么这个函数的解析式是_______。
解:将点(-1,-3)、(2,12)和(1,1)坐标代入y=ax2+bx+c,可得:
-3=a(-1)2+b(-1)+c
12=a·22+b·2+c
1=a·12+b·1+c
解得a=3,b=2,c=-4。
因此所求函数解析式为y=3x2+2x-4。
求出待定系数a,b,c,进而获得解析式y=ax2+bx+c.
解题反思:
已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax2+bx+c,将三个点的坐标代入,把问题转化为求解一个三元一次方程组,易得a=3,b=2,c=-4,故所求函数解析式为y=3x2+2x-4。
求解二次函数解析式,典型例题分析2:
已知二次函数的图象过(-1,-9)、(1,-3)和(3,-5)三点,求此二次函数的解析式。
解:设此二次函数的解析式为,由题意得:
-9=a(-1)2+b(-1)+c
-3=a·12+b·1+c
-5=a·32+b·3+c
解得a=-1,b=3,c=-5。
∴所求的二次函数的解析式为
求解二次函数解析式,典型例题分析3:
在平面直角坐标系中,顶点为A(1,﹣1)的抛物线经过点B(5,3),求抛物线的解析式。
解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2﹣1,
将B点坐标代入函数解析式,得(5﹣1)2a﹣1=3,
解得a=0.25.
故抛物线的解析式为y=0.25(x﹣1)2﹣1.
求解二次函数解析式,典型例题分析4:
已知抛物线的顶点(-1,-2)且图象经过(1,10),求解析式。
解:设抛物线y=a(x-m)2+k,由题意得:
m=-1,k=-2
∴y=a(x+1)2-2
∵抛物线过点(1,10)
∴a(1+1)2-2=10
所以a=3
即解析式为y=3x2+6x+1.
求解二次函数解析式,典型例题分析5:
已知二次函数的图象与轴的交点为(-5,0),(2,0),且图象经过(3,-4),求解析式。
解:设所求解析式为y=a(x+5)(x-2)
∵图象经过(3,-4)
∴a(x+5)(x-2)=-4
∴a=-0.5
即:y=0.5(x+5)(x-2)
则所求解析式为y=-0.5x2-1.5x+5.
求解二次函数解析式,典型例题分析6:
已知抛物线y=-2x2+8x-9的顶点为A,若二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A点,且与x轴交于B(0,0)、C(3,0)两点,试求这个二次函数的解析式。
解:∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于B(0,0)、C(3,0)两点
∴设二次函数的解析式为y=ax(x-3)
∵y=-2x2+8x-9的顶点为A(2,-1)。
∴将A点的坐标代入y=ax(x-3),
得到a=0.5
∴y=0.5x(x-3),
即y=0.5x2-1.5x.
记住二次函数的解析式一般有以下三种基本形式:
1、一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)。
2、顶点式:y=a(x-m)2+k(a≠0),其中顶点坐标为(m,k),对称轴为直线x=m。
3、交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。