Question

A是正规矩阵,且特征值的模为1,证明A是酉矩阵

Answer 1

设A的特征值为λ1，λ2，...，λn，若A是正规矩阵，则存在酉矩阵U，使得
A=U^H diag(λ1，λ2，...，λn) U，其中diag(λ1，λ2，...，λn)是对角线为λ1，λ2，...，λn的对角矩阵。又特征值的模为1，设λ1，λ2，...，λn的共轭分别为λ`1，λ`2，...，λ`n，故有
λ1λ`1=λ2λ`2=...=λnλ`n=1，且A^H=U^H diag(λ`1，λ`2，...，λ`n) U，
所以(A^H)A=(U^H diag(λ`1，λ`2，...，λ`n) U)(U^H diag(λ1，λ2，...，λn) U)
=U^H diag(λ1λ`1，λ2λ`2，...，λnλ`n) U=U^H I U=I，其中I为单位矩阵
所以A是酉矩阵
有疑问的地方请追问

追问

能不能给个正规阵一定能相似对角化的证明？

追答

schur三角化定理（这个知道的吧）：A酉相似与一个对角线为λ1，λ2，...，λn（A的特征值）的上三角矩阵R。
故存在酉矩阵U，使得R=U^H A U，因A为正规矩阵，从而
(R^H)R=(U^H A^H U)(U^H A U)=U^H A^H A U=U^H A A^H U=(U^H A U)(U^H A^H U)=R(R^H)，
故R为正规矩阵
比较(R^H)R和R(R^H)第i行第i列的元素，可知R为对角矩阵，且对角线为λ1，λ2，...，λn