Question

在三角形ABC中,a=2,b=√6,4S△ABC=b²+c-a,求三角形ABC的面积

Answer 1

a，b代入：

4S=6+c-2=4+c

S=1+c/4

c=4(S-1)

又S=1/2xabsinC=1/2x2√6sinC=√6sinC

代入上式：

c=4（√6sinC-1)

c/4+1=√6sinC,c>0,c/4+1>1,sinC>1/√6，

0<（c/4+1)/√6≤1

0<c/4+1≤√6

-1<c/4≤√6-1

-4<c≤(√6-1）4

0<c≤(√6-1）4

0<c²≤(7-2√6）16=33.62，

余弦定理：

c²=a²+b²-2abcosC

0<c²=4+6-2x2x√6cosC≤33.62

-10<-4√6cosC≤23.62

-23.62/4√6≤cosC＜10/4√6

-2.411≤cosC<1.021,

-1<cosC<1,上式始终可以满足。

据此，可以进一步限制sinC的范围：

-1<cosC=（10-c²）/4√6<1

-4√6<10-c²<4√6

-4√6-10<-c²<4√6-10

10-4√6<c²<10+4√6

√6-2<c<√6+2

√6-2<c=4（√6sinC-1)<√6+2

(√6-2)/4＜（√6sinC-1)<(√6+2)/4

16（6sin²C-2√6sinC+1）=10-4√6cosC

8（6sin²C-2√6sinC+1）=5-2√6cosC

48sin²C-16√6sinC+8=5-2√6cosC

48sin²C-16√6sinC+2√6cosC+3=0

解得C1=0.5757724654rad，C2=0.3273240888rad，C3=2.192721981