Question

变上限积分求导的一点问题

对 ∫（下限0，上限X）(x-t) f(t)dt 求导 正确做法我知道是把x-t括号拆开 再求导

但是想请教下大家 为什么对∫（下限0，上限X）t f(t)dt 求导可以直接代入x

而上面的式子不拆开直接代入x就不行。

还有就是如果前面有个稍微复杂一点带有u-x的函数以后也是要先拆开么

谢谢大家

Answer 1

设F(t)是tf(t)的一个原函数
那么F’(t)=tf(t)
∫（下限0，上限X）t f(t)dt =F(t)|（下限0，上限X）=F(x)-F(0)
对它求导后就是F'(x)=xf(x) (因为F(0)等于一个常数，所以其导数为0)
设G(t)是(x-t)f(t)的一个原函数
G‘(t)=(x-t)f(t)
而∫（下限0，上限X）(x-t) f(t)dt=G(t)|（下限0，上限X）=G(x)-G(0)
对它求导后就是G’(x)-[G(0)]'=(x-x)f(x)-[G(0)]' =-[G(0)]'
(因为G(t)中含有x，所以G(0)是一个和x有关的函数，对其求导不为0)
因为我们并不知道G(0)和x之间的关系式到底是怎样的，所以就不这样求

Answer 2

变上限积分求导, 一定要保证被积函数与x 无关， 而只与积分变量 t 有关，
这样才能利用公式： ∫ (0,x) f(t) dt 对 x 求导，导函数是 f(x).
故首先要利用换元等方法把 x 调整到积分的上下限。

Answer 3