【高中数学】若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称
若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(2x)与y=1/2g(x)的图象关于直线y=x对称证明为什么...
若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(2x)与y=1/2g(x)的图象关于直线y=x对称
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5个回答
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首先你要明白任何一点关于某一条直线的对称点怎么求,
就拿这道题来说,任意一点(a,b)关于直线y=x的对称点位(b,a),请你自己验证他们的连线与直线y=x对称,且中点在直线y=x上。有了这点知识准备就可以证明了。
在函数y=f(2x)图像上任意取一点(a,f(2a)),它关于,直线y=x的对称点是(f(2a),a)
需要证明该点在y=1/2g(x)的图像上,也就是证明(f(2a),a)满足方程y=1/2g(x)
即a=1/2g(f(2a)),化简为2a=g(f(2a))
下面说明这个等式成立,任意取一点(c,f(c)),它关于直线y=x的对称点(f(c),c)在y=g(x)上,则有c=g(f(c)),由于对任意c这个等式成立,那么2a=g(f(2a))也成立。
到此为止,基本上完成了证明。下面我们再来理一下思路。
我们在y=f(2x)上任取一点关于直线y=x的对称点在y=1/2g(x)上,
同理你可以自己再证明在y=1/2g(x)上任取一点关于直线y=x的对称点在y=f(2x)上。这就完成了证明
特别说明两点。第一,书写的时候请理清思路,这是分析思路不是证明过程。
第二,只证明一半是不能说明,对称的。
就拿这道题来说,任意一点(a,b)关于直线y=x的对称点位(b,a),请你自己验证他们的连线与直线y=x对称,且中点在直线y=x上。有了这点知识准备就可以证明了。
在函数y=f(2x)图像上任意取一点(a,f(2a)),它关于,直线y=x的对称点是(f(2a),a)
需要证明该点在y=1/2g(x)的图像上,也就是证明(f(2a),a)满足方程y=1/2g(x)
即a=1/2g(f(2a)),化简为2a=g(f(2a))
下面说明这个等式成立,任意取一点(c,f(c)),它关于直线y=x的对称点(f(c),c)在y=g(x)上,则有c=g(f(c)),由于对任意c这个等式成立,那么2a=g(f(2a))也成立。
到此为止,基本上完成了证明。下面我们再来理一下思路。
我们在y=f(2x)上任取一点关于直线y=x的对称点在y=1/2g(x)上,
同理你可以自己再证明在y=1/2g(x)上任取一点关于直线y=x的对称点在y=f(2x)上。这就完成了证明
特别说明两点。第一,书写的时候请理清思路,这是分析思路不是证明过程。
第二,只证明一半是不能说明,对称的。
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[[[注∶关于直线y=x对称的两点P, Q,其坐标的关系为P(a,b),Q(b,a)]]]
证明:
[[1]]
∵两个函数y=f(x), y=g(x)的图像关于直线y=x对称.
∴若P(a,b)是函数y=f(x)图像上的任意一点,
则Q(b, a)就是函数y=g(x)图像上的一点.
且b=f(a), a=g(b).
[[2]]
现在,对于函数y=f(2x)与y=g(x)/2来说
若点M(a/2, b)是函数y=f(2x)图像上的任意一点,
则必有b=f[2(a/2)]=f(a),即b=f(a)
∴点(a, b)是函数y=f(x)图像上的一点.
由题设可知,点(b,a)是函数y=g(x)图像上的一点,
∴a=g(b), 即有a/2=g(b)/2
这就是说,点(b. a/2)是函数y=g(x)/2图像上的一点.
上面的推理就是:
若点(a/2, b)是函数y=f(x)图像上的一点,
则(b,a/2)就是函数y=g(x)/2图像上的一点.
而两点(a/2, b)与(b, a/2)关于直线y=x对称.
∴两个函数y=f(2x), y=g(x)/2的图像关于直线y=x对称.
证明:
[[1]]
∵两个函数y=f(x), y=g(x)的图像关于直线y=x对称.
∴若P(a,b)是函数y=f(x)图像上的任意一点,
则Q(b, a)就是函数y=g(x)图像上的一点.
且b=f(a), a=g(b).
[[2]]
现在,对于函数y=f(2x)与y=g(x)/2来说
若点M(a/2, b)是函数y=f(2x)图像上的任意一点,
则必有b=f[2(a/2)]=f(a),即b=f(a)
∴点(a, b)是函数y=f(x)图像上的一点.
由题设可知,点(b,a)是函数y=g(x)图像上的一点,
∴a=g(b), 即有a/2=g(b)/2
这就是说,点(b. a/2)是函数y=g(x)/2图像上的一点.
上面的推理就是:
若点(a/2, b)是函数y=f(x)图像上的一点,
则(b,a/2)就是函数y=g(x)/2图像上的一点.
而两点(a/2, b)与(b, a/2)关于直线y=x对称.
∴两个函数y=f(2x), y=g(x)/2的图像关于直线y=x对称.
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y=f(x)的图像相当与y=g(x)的横,纵坐标换一下位置,只需要随便取两个参数(A,B)设这个坐标在y=f(x)图像上,(A,B)关于y=x对称的坐标是(B,A),则坐标(B,A)在y=g(x)上。
这是已知条件要写出来,
然后设(2A,B)在y=f(x)上,从而可知道(B,2A)在y=g(x)上,
所以当函数y=f(2x),y=1/2g(x),这只是证明了这个命题的必要性。
要证明充分性就已知y=f(2x)与y=1/2g(x),
当B=f(2A)时,2A=g(B),
(2A,B)在y=f(x)上,(B,2A)在y=g(x)上,
俩个函数的坐标关于y=x对称,
就可以证明这一题的结论了。
这是已知条件要写出来,
然后设(2A,B)在y=f(x)上,从而可知道(B,2A)在y=g(x)上,
所以当函数y=f(2x),y=1/2g(x),这只是证明了这个命题的必要性。
要证明充分性就已知y=f(2x)与y=1/2g(x),
当B=f(2A)时,2A=g(B),
(2A,B)在y=f(x)上,(B,2A)在y=g(x)上,
俩个函数的坐标关于y=x对称,
就可以证明这一题的结论了。
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很简单,这里说的就是对数函数的反函数,把对数函数列进去就行了用字母表示。还有可以用点到直线的距离相等,就是到直线x=y一样可以证明出来,我个人建议用后者证明,原因是后者具有普遍性
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2011-09-03
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...............
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