Question

急急急！！证明:4arctan(1/5)-arctan(1/239)=pi/4

Answer 1

tan（2arctan(1/5)）=2*1/5 / (1-1/5²）=5/12

-π/6<4arctan(1/5)-arctan(1/239)<2/3π

左边=arctan1=π/4

设矢量Z1=5+i

Z2=(239+i)

模(1²+239²)^1/2=169√2

tan（4arctan(1/5)）=2*5/12 / (1-(5/12)²）= 120/119

模(119²+120²)^1/2=169i

向量夹角公式cosa=(239*119+1*120)/(169√2*169)=√2/2

都在第一象限，故a=π/4

性质1

等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立。

若a=b

那么a+c=b+c

性质2

等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。

若a=b

那么有a·c=b·c

或a÷c=b÷c （c≠0）

Answer 2

tan（2arctan(1/5)）=2*1/5 / (1-1/5²）=5/12
tan（4arctan(1/5)）=2*5/12 / (1-(5/12)²）= 120/119
tan(4arctan(1/5)-arctan(1/239))=(120/119-1/239)/(1+120/119*1/239)=1
0<arctan(1/5)<arctan(√3/3)=π/6
同样的，0<arctan(1/239)<π/6
这样,-π/6<4arctan(1/5)-arctan(1/239)<2/3π
故左边=arctan1=π/4

追问

请问下 用复数可以怎么证明？？

追答

设矢量Z1=5+i
Z2=(239+i)
模(1²+239²)^1/2=169√2
由上证,tan（4arctan(1/5)）=2*5/12 / (1-(5/12)²）= 120/119
所以Z1旋转四倍角后,Z1'=119+120i （长度先不管啦）
模(119²+120²)^1/2=169i
向量夹角公式cosa=(239*119+1*120)/(169√2*169)=√2/2
都在第一象限，故a=π/4