Question

请高手解答数学难题，谢谢！！！

已知函数y=x³－ax(a为常数）的图象上存在4点Ai（xi，yi），过Ai的切线为li（i=1，2，3，4）；如果l1，l2，l3，l4围成的图形是正方形（其中l1∥l3）
（Ⅰ）证明|x1x3-x2x4|＞2/3；
（1324是x右下角的小标记）
（Ⅱ）试求a的取值范围
Ai中的i是A右下角的小标记，l1，l2，l3，l4中的1，2，3，4也是l右下角的小标记。

Answer 1

首先三次函数的切线一定有斜率，可以用导数来求。
注意y'=3x^2-a，所以l1//l3一定有x1=-x3，同理x2=-x4，这样正方形的中心是原点。
不妨设x1=-x3=u >= v=x2=-x4 >0。
构成正方形的充要条件是l1垂直l2且l1在y轴的截距和l2在x轴的截距有相等，算出来就是
(3u^2-a)(3v^2-a)=-1 且 u^3(3u^2-a)=v^3

第一问基本上只需要垂直的条件就行了，因为3u^2-a>0>3v^2-a，利用平均值不等式
[(3u^2-a)+(a-3v^2)]/2 >= sqrt[(3u^2-a)(a-3v^2)] =1
即u^2-v^2 >= 2/3
再注意u=v无法满足截距相等的条件，所以上述等号取不到。

第二问在两个方程中先消去v，再用换元w=(3u^2-a)^{1/3}得到a=(w^8+1)/(w^3-w^5)，其中w的取值范围是(0,1)，只要求值域就行了。事实上a关于w先减后增，且无上界，唯一的最小值可以通过求导算出，此时w=sqrt((4+sqrt(10)-3 sqrt((8 sqrt(10))/9-10/9))/6)，带进去得到a的最小值。

这个问题计算比较繁琐，我很有可能算错。如果我算错了你自己顺着这个思路算，别让我算第二次:)