Question

在数列an中，已知a1=-2，a(n+1)=2an+n+1 （1）求证，数列｛a（n+1）-an+1｝为等比数列

（2）求数列an的通项公式

Answer 1

a(n+1)=2a(n)+n+1=2a(n)+[2n-n-1]+2,
a(n+1)+(n+1)=2[a(n)+n] + 2 = 2[a(n)+n] + 4-2,
a(n+1)+(n+1)+2 = 2[a(n)+n] + 4 = 2[a(n)+n+2],
{a(n)+n+2}是首项为a(1)+1+2=1,公比为2的等比数列.
a(n)+n+2=2^(n-1),
a(n)=2^(n-1) - n - 2.
a(n+1)=2^n - (n+1) - 2,
a(n+1)-a(n)+1 = 2^(n-1) ,
{a(n+1)-a(n)+1}是首项为1,公比为2的等比数列.

Answer 2

因为a（n+1)-an+1=2an+n+1-an+1=an+n+2 设bn=a（n+1)-an+1=2an+n+1-an+1=an+n+2那么b（n+1）=a（n+1)+（n+1）+2=2an+n+1+n+1+2=2（an+n+2)所以bn/b(n+1)=1/2