Question

三道高一数学题，急!!

1. 已知集合A=｛x|x的平方-px+q=0},B={y|y的平方+(p-1)y+q-3=0}.且A=｛3｝，求B

2.已知集合A=｛x∈R|mx的平方-2x+3=0，m∈R}.若A中的元素至多只有一个，求m的取值范围

3.设A是数集，且满足条件:若a∈A，a≠1，则1-a分之1∈A.求证：①若2∈A，则A中必还有另外两个元素；②集合A不可能是单元素集③集合A能否是单元素集，为什么

Answer 1

（1）A=｛3｝说明A集合只有一个元素3，也就是x的平方-px+q=0的解为两个相等的实数解 所以可以利用韦达定理 x1+x2=p=6 x1*x2=q=9 且△=0 将P,q代入B解得 y的平方+5y+6=0
解得B =｛-3、-2｝
（2）当m=0时，-2x+3=0，解得x=1.5 符合题意 当m≠0时，∵A中的元素至多只有一个∴A集合中的方程无解或者有两个相等的实数解 当方程无解时，利用△<0 解得m> 1/3 当方程有两个相等实数解时，用△=0解得 m=1/3 综上所述：m=0或m》1/3
（3）因为2∈A，且2≠1，所以1-2分之1=-1∈A 又∵-1∈A ，-1≠1，∴【1-（-1）】分之1=1/2 ∈A，所以A中必还有另外两个元素
（Ⅱ）若a∈S，则 1/1-a∈S，根据元素互异性的要求，s中只有一个元素，则应该满足
a=1/1-a
即a^2-a+1=0有解．显然此方程无解．
∴不可能． 2和3一样

Answer 2

解答：
1）∵A=｛3｝，∴x²-px+q=0有重根3，可以解得p=6，q=9
从而可得：B={y|y²+5y+6=0}，进一步得B=｛-3、-2｝
2）由A中的元素至多只有一个，mx²-2x+3=0只有一个根（重根）或没有根
即△=4-12m≤0，m≥1/3
3）①证明：∵2∈A，则1/(1-2)=-1∈A，1/（1-（-1））=1/2∈A
∴若2∈A，则A中必还有另外两个元素，它们是-1和½
②证明：∵假设存在单元素集合A={a}（a≠1）
∴1/(1-a)=a化简得：a²-a+1=（a-½）+3/4=0,方程无解，即原假设不正确。不存在单元素集合A
③同②，不能为单元素集