Question

设a=(1+cosα ,sinα ),b=(1-cos β,sin β )

α∈(0,π),β∈(π，2π),向量c=(1,0)，向量a与向量c夹角为θ1，向量b、向量c夹角为θ2，且θ1-θ2=π/6，求sin[(α-β)/4]的值。

Answer 1

α∈(0,π),β∈(π，2π),向量c=(1,0)，向量a与向量c夹角为θ1，向量b、向量c夹角为θ2，且θ1-θ2=π/6，求sin[(α-β)/4]的值。
先用向量夹角公式：
cosθ1=(1+cosα)/√[(1+cosα)^2+{sinα}^2]= (1+cosα)/√(2+2cosα)
∵cosα+1>0
∴cosθ1=√[(1+cosα)/2]=|cosα/2|
∵α∈(0,π)，θ1(0,π)
∴cosθ1=cosα/2
θ1=α/2
同样的推导（这里答题时候是要写的，我就不写了），得到θ2=β/2
∴cos[(α-β)/2]= cos(θ1-θ2)=√3/2
∵α∈(0,π),β∈(π，2π)，α-β∈(-2π,0)，(α-β)/4(-π/2,0)
∴sin[(α-β)/4]<0
∴sin[(α-β)/4]= -√{[1-cos^2(α-β)/2]/2}= -1/2√2

追问

答案是-1/2

追答

我再验算下

追问

好的，谢谢你啊，帮忙检验一下啊

追答

刚才的算法有错误，正确的是这样：
得到cosθ1=cosα/2之后，有sinθ1=±sinα/2
∵α/2∈(0,π/2)，θ1∈(0,π)，正弦值均为正，
∴sinθ1=sinα/2
同样的推导：cosθ2=sinβ/2，sinθ2= -cosβ/2
∴cos[(α-β)/2]= cosα/2cosβ/2+sinα/2sinβ/2
= -cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2
=sin(θ1-θ2)=1/2
然后
∵α∈(0,π),β∈(π，2π)，α-β∈(-2π,0)，(α-β)/4(-π/2,0)
∴sin[(α-β)/4]<0
∴sin[(α-β)/4]= -√{[1-cos(α-β)/2]/2}= -1/2

追问

谢谢你对我这么大的帮助麻烦你了，感激不尽啊
能再帮我做一道么
5项不同的工程由3个工程队承包，每队至少承包一项，不同的承包方案有多少种
答案3C(3,5)*C(1,2)*C(1,1)+3C(1,5)是什么意思

追答

这书里的答案都是这样写的不给解释么，这书扔了吧。。。

追问

呵呵，遵命

追答

从中间那个加号看，应该是分成两类来讨论的。
前面一类说的是3 1 1 的分配方案，后面说的是1 2 2 的方案。
但是在工程到底是有序还是无序的问题上，感觉前后的算法又不一致。
3C(3,5)*C(1,2)*C(1,1)+3C(1,5)C(2,4)C(2,2)
这样才是正解