Question

求微分方程y''-3y'+2y=2xe^x的通解，有答案，但是细节看不懂

请问图片里画波浪线这个式子里的ax+b是如何而来的呀，我知道是待定系数法，有三种情况的定式可以套用，但是这种好像是两种定式的杂糅耶？

Answer 1

这是二阶常系数非齐次线性方程
解法是先求出齐次方程的通解，就是C1e^x+C2e^x
再求出一特解，齐次方程的通解+特解就是非齐次方程得解

求特解的方法就是根据原方程等式右边的式子和齐次方程特征根的情况设定
如果方程式f(x)=Rn(x)e^(ax)的形式，其中Rn(x)是n次多项式
a不是特征根，特解设成Rn(x)e^(ax)的形式
a是特征方程单根，特解设成xRn(x)e^(ax)的形式
a是特征方程复根，特解设成x²Rn(x)e^(ax)的形式

因为这道题等式右边是2xe^x所以设特解是(ax+b)e^x，又因为1是特征根，所以设成x(ax+b)e^x
代入非齐次线性方程确定系数a和b的值

明白吗？

追问

明白，小弟唯一不解的是x(ax+b)e^x中的ax+b这一项，Rn(x)是n次多项式，但这道题等式右边是2xe^x，表达式中只有2x一项啊

追答

2x这项表示多项式的是一次多项式，只是常数项为0，设特解要写成完整形式：ax+b
如果是x²，写成完整形式就是ax²+bx+c