Question

求函数的值域和函数的最大值

1.求函数y=√5X-2/X的值域 （就是根号下5X-2的值除以X）
2.若函数f(X)=X^2+X-1/4的值域为[-1/2,1/16]，且定义域为 [a,b] ，求b-a的最大值。

Answer 1

1. √(5X-2)=t>=0
x=(t^2+2)/5
y=5t/(t^2+2)<=5t/[2√(t^2*2)]=5/(2√2), t=√2时取到最大值。
最小值显然为0，t=0时取到。
所以值域为：[0, 5/(2√2)]
2.f(x)=(x+1/2)^2-1/2, 最小值为-1/2, 在x=-1/2点取到。
由f(x)=1/16得：x=1/4, -5/4
因此[a,b]需包含点-1/2,且需位于[-5/4, 1/4] 且端点需至少包含1/4,-5/4中的一个
由此b-a最大为：1/4-(-5/4)=3/2

Answer 2

1.
y=√{(5X-2)/X}
首先，分母不为零，且根号下无负数
定义域x≠0，且(5x-2)/x＞0，即x＜0或者x≥2/5
y=√{(5X-2)/X}= √(5-2/x)
x＜0时，单调减，√5＜y＜+∞
x≥2/5时，单调增，0≤y＜√5
故值域【0，√5)，(√5，+∞）

2.
f(X)=X^2+X-1/4=(x+1/2)^2-1/2，开口向上，当x=-1/2时有极小值-1/2
值域为[-1/2，1/16]
∴对称轴在区间【a，b】内
ymax=1/6时，(x+1/2)^2-1/2=1/16，x+1/2=±3/4，x1=-5/4，x2=1/4
当a=-5/4，b=1/4时。b-a取最大值1/4-(-5/4)=3/2