Question

关于特征值的一个问题

如果：
A是三阶矩阵，A的特征值分别是 -2 ；1；0
则A-3E的特征值分别是：-5；-2；-3
A+3E的特征值分别是：1；4；3
也就是直接加减那个E所对应的特征值 1
这个是根据什么定理啊还是什么证明的？？
帮忙想想吧 谢谢~~

Answer 1

这是个定理 请看图片里的详细叙述和证明:

定理中的(1)就是你提问的部分. 不明之处请追问.

Answer 2

设A的特征值为λ
那么Ax=λx
(A-3E)x=Ax-3Ex=Ax-3x=λx-3x=(λ-3)x
那么A-3E的特征值就是λ-3

其实对于A的矩阵多项式
f(A)=a0A^m+a1A^(m-1)+a2m^(m-2)+…+amE
它的特征值就是f(λ)
因为
f(A)x
=(a0A^m+a1A^(m-1)+a2A^(m-2)+…+amE)x
=a0A^mx+a1A^(m-1)x+a2A^(m-2)x+…amEx
=a0λ^mx+a1λ^(m-1)x+a2λ^(m-2)x+…+amx
=(a0λ^m+a1λ^(m-1)+a2λ^(m-2)x+…+am)x
=f(λ)x

Answer 3

Ax=λx
(A-λE)x=0

对于A-kE
(A-kE)x=λx
[A-(k+λ)E]=0
特征值为λ+k

Answer 4

你这里E也是三阶单位矩阵，单位所对应的特征值为1，斜对角线上每个值都是1，其余为零
你可以看看线性代数的书 上面有讲解
也可以看看这个网站
http://www.tongji.edu.cn/~math/xxds/kcja/kcja_a/01.htm